Программа ЭкзамL Предмет Математика Тема: треугольники

 

Основные соотношения в треугольнике

Неравенство треугольника:     a + b > c; a + c > b; b + c > a

Сумма углов: a + b + g = 180⁰

Против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Против равных сторон лежат равные углы, и обратно, против равных углов лежат равные стороны.

 

Средняя линия

 

 

 

 

 

 

 

 

Средняя линия – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

·         Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине:

·         Средняя линия отсекает подобный треугольник, площадь которого равна одной четверти от исходного.

 

 

Медиана

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

·         Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в  отношении 2:1 (считая от вершины треугольника).

·         Медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями.

 

Биссектриса

Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий угол пополам.

·         Биссектриса делит противолежащую сторону на части , пропорциональные прилежащим сторонам:         a_b : a_c = b : c

·         Биссектриса делит площадь треугольника, пропорционально прилежащим сторонам.

·        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прямоугольный треугольник

 

 

 

 

 

 

 

Теорема Пифагора:             Площадь:  

Тригонометрические соотношения:          

Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

Радиусы окружностей:  

Высота, опущенная на гипотенузу:            

Катеты: 

 

 

Равнобедренный треугольник

треугольник, у которого две стороны равны.

 

Углы, при основании треугольника, равны Высота, проведенная из вершины, является биссектрисой и медианой.

 

 

Равносторонний треугольник

треугольник, у которого все стороны равны.

 

Все углы равны 60⁰.

Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой.

Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Радиусы окружностей:   

Площадь  

 

 

 

Площадь треугольника

                          

 

 

 

 

 

                                                     

 

 

 

Решение прямоугольных треугольников

Решение произвольных треугольников

 

Задачи

[1]. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС

Ответ:  21

 

 

[2]. Основанием пирамиды FABC является треугольник АВС, …. Отрезки АМ и AL являются соответственно высотами треугольников AFВ и AFС. Найдите объем пирамиды. Ответ в виде 137/27

Ответ:  128/41

 

 

[3]. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник МРК

Ответ:  24

 

 

[4]. Найдите сторону ВC треугольника ВСD,

Ответ:  16

 

 

[5]. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Через центр О вписанной в треугольник окружности проведен луч ВО, пересекающий катет АС в точке М. Найдите гипотенузу треугольника АВС.

Ответ:  24

 

 

[6]. Площадь треугольника АВС равна 20*Sqrt(3). Найдите АС, если сторона АВ равна 8 и она больше половины стороны АС, а медиана ВМ равна 5.

Ответ:  14

 

 

[7]. Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 140°. Найдите угол между боковыми сторонами этого треугольника.

1) 70°

+2) 100°

3) 40°

4) 80°

 

 

[8]. Сторона равностороннего треугольника MLN равна 6 см. Найдите скалярное произведение векторов LM и LN.

Ответ:  18

 

 

[9]. В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус этой окружности, если AM=10 и BM=15

Ответ:  7,5

 

 

[10]. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке Н, а медианы – в точке М. Точка K – середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника, если известно, что AB=6, CH=3, <BAC=45° (< символ угла) Ответ в виде 78/34

Ответ:  45/8

 

 

[11]. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=5, cosA=0,8. Найдите BC

Ответ:  3

 

 

[12]. «Площадь прямоугольного треугольника равна 27 см2. Длина одного катета a на 3 см меньше длины другого катета b ». Длины катетов треугольника в см. Какая система уравнений соответствует условию задачи?

Ответ:  3

 

 

[13]. В треугольнике ABC дано:   AB = BC,   AC = 10, высота CH равна 5. Найдите синус угла ACB.

Ответ:  0,5

 

 

[14]. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке. Ответ запишите в виде  число*sqrt(число )/ число

Ответ:  25*sqrt(3)/2

 

 

[15]. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Ответ:  42

 

 

[16]. В треугольнике ABC AD - биссектриса, угол  C  равен 41°, угол  CAD  равен 43° . Найдите угол  B. Ответ дайте в градусах.

Ответ:  53

 

 

[17]. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см X 1 см изображен треугольник (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Ответ:  6

 

 

[18]. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1; 7), (7; 7), (6; 9).

Ответ:  6

 

 

[19]. Треугольник ABC вписан в окружность с центром O . Найдите угол BOC , если угол BAC равен 32°

Ответ:  64

 

 

[20]. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5, cosA = 0,8. Найдите BC.

Ответ:  3

 

 

[21]. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 10, BC = 8. Найдите cosA.

Ответ:  0.6

 

 

[22]. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 10, AC = 8. Найдите tgA.

Ответ:  0.75

 

 

[23]. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 25, AC = 15. Найдите sinA.

Ответ:  0.8

 

 

[24]. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 15, BC = 9. Найдите косинус внешнего угла при вершине A.

Ответ:  -0.8

 

 

[25]. В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgA = 4/3, BC = 8. Найдите AB.

Ответ:  10

 

 

[26]. В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosA = 4/5, AC = 4. CH - высота. Найдите AH.

Ответ:  3.2

 

 

[27]. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона AB равна 25, а высота, проведенная к основанию, равна 20. Найдите cosA.

Ответ:  0.6

 

 

[28]. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 23, cosA = 0.8. Найдите AC.

Ответ:  14.375

 

 

[29]. В треугольнике ABC AC = BC = 5, AB = 4. Найдите cosA.

Ответ:  0.4

 

 

[30]. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если стороны квадратных клеток равны 1.

Ответ:  5

 

 

[31]. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 5, высота AH равна 4. Найдите cosA.

Ответ:  0.8

 

 

[32]. В тупоугольном треугольнике ABC AB = BC, AC = 25, CH - высота, AH = 15. Найдите синус угла ACB.

Ответ:  0.8

 

 

[33]. В треугольнике ABC AC = BC = 20, AB = 36. Найдите cosA.

Ответ:  0.9

 

 

[34]. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 10, высота AH равна 1. Найдите sinA.

Ответ:  0.1

 

 

[35]. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH - высота, BC = 25, BH = 20. Найдите sinA.

Ответ:  0.8

 

 

[36]. В треугольнике ABC AC = BC = 12, sinB = 3/5. Найдите AB.

Ответ:  19.2

 

 

[37]. В треугольнике ABC AC = BC = 8, AB = 4. Найдите cosA.

Ответ:  0.25

 

 

[38]. В треугольнике ABC угол C равен 90°, синус внешнего угла при вершине A равен 0.5, AB = 8. Найдите BC.

Ответ:  4

 

 

[39]. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ:  18

 

 

[40]. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ:  18

 

 

[41]. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ:  9

 

 

[42]. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

Ответ:  9

 

 

[43]. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ:  17

 

 

[44]. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

Ответ:  5

 

 

[45]. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

Ответ:  5

 

 

[46]. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Площадь ее поверхности равна 132. Найдите высоту призмы.

Ответ:  10

 

 

[47]. Отметьте верные утверждения

1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

+2) Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то эти прямая и окружность не имеют общих точек.

+3) Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

4) Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.

5) Сумма углов тупоугольного треугольника больше 180°.

 

 

[48]. Отметьте  верные утверждения

1) Диагонали параллелограмма равны.

+2) Два различных диаметра окружности пересекаются в точке, являющейся центром этой окружности.

+3) Сумма углов трапеции равна 360° .

4) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению катетов.

+5) Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.